¿¿¿¿Y VOLUMEN DE…?????

VOLÚMENES DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS




Para calcular un volumen necesitamos tres dimensiones: largo, ancho y alto. El producto de los valores largo X ancho X alto nos da el volumen.

Es lo mismo que decir, el volumen lo calculamos también multiplicando el área de la base por la altura.

Supongamos que tenemos unas cajas de cartón que tienen 1 cm., de largo, 1 cm. de ancho y 1 cm., de alto.

Las colocamos como aparecen en la siguiente figura:

Verás que hemos colocado las cajas en las tres dimensiones:
10 cajas de largo, 10 cajas de ancho y 10 de alto.

¿Cuántas cajas necesitamos para completar la superficie o la base?

Según lo estudiado hasta ahora, nos harían falta: (largo por ancho) = 10x10=100 cajas que podemos observarlas en la siguiente figura ocupando el área de la base :

De otro modo: 10 filas de 10 cajas es igual a 100 cajas que son las que tienes en la figura.
Si ahora completamos 10 capas como esta, colocándolas una encima de otra conseguiremos una altura de 10 cm.:

Una vez completadas las 10 filas de 100 cajas en la figura última tenemos 1000 cajas de 1 cm. de ancho, 1 cm., de largo y 1 cm., de alto.

Es muy importante que te fijes en que la última figura tiene 10 cm., de longitud, 10 cm., de anchura y 10 cm., de altura, lo que equivale a:

Recuerda que para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes:

Vemos que el volumen de un cubo y de casi todas los cuerpos geométricos los calculamos multiplicando el área de la base por la altura.

15(3).1 ¿Cuántas cajas pequeñas enteras de 1 cm. de largo, 1 cm. de ancho y 1 cm. de alto caben en la caja cuyas medidas aparecen en la siguiente figura?:

Respuesta: 187 cajas.

Solución

Calculo el volumen multiplicando las tres medidas: base por anchura, por altura y obtengo un resultado de

Cada caja tiene un volumen de .

Como han de ser cajas enteras, la respuesta será 187 cajas.

15(3).2 En una caja grande de base rectangular han entrado 300 cajas pequeñas exactas de de volumen. La altura de la caja es de 10 cm. ¿Cuál es el área de la base?

Respuesta:

Solución

En primer lugar calculamos el volumen del recipiente o la caja grande. Para ello, nos dicen que caben 300 cajas pequeñas de cada una. Esto quiere decir que el volumen del recipiente es de:

Sabemos que el volumen calculamos multiplicando el área de la base por la altura:

Sustituyo por los valores numéricos que conozco:

15(3).3 ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito cuyas medidas las tienes en la figura siguiente, sabiendo que en un recipiente de cabe exactamente 1 litro?

Respuesta: 289.000 litros de agua

Solución

Calculo el volumen del depósito: Este resultado lo escribo en

15(3).4 Halla la altura de un depósito que tiene por medidas las que ves en la figura siguiente. Sabemos que caben 90.000 litros de agua.

Respuesta: 6 m. de altura

Solución
Sabemos que el volumen obtenemos multiplicando las 3 dimensiones: largo, ancho y alto, es decir:

Conocemos el volumen porque nos dicen que caben 90.000 litros de agua.

Sabemos que 90.000 litros de agua equivalen a un volumen de

Dado que en el problema las medidas vienen dadas en metros, el volumen lo expresamos en

15(3).5 En un depósito caben 30.000 litros de agua. Tiene una altura de 3 metros ¿Cuál es el área de la base?

Respuesta: 10 metros cuadrados.

 

 

 

Figura	Esquema	Área	Volumen
Cilindro
Esfera
Cono
Cubo		A = 6 a2	V = a3
Prisma		A = (perim. base • h) + 2 • area base	V = área base • h
Pirámide

Poliedros regulares

Figura	Esquema	Nº de caras	Área
Tetraedro		4 caras, triángulos equiláteros
Octaedro		8 caras, triángulos equiláteros
Cubo		6 caras, cuadrados	A = 6 a2
Dodecaedro		12 caras, pentágonos regulares	A = 30 · a · ap.
Icosaedro		20 caras, triángulos equiláteros

¿CÓMO SE CALCULA EL ÁREA DE…?

https://www.youtube.com/watch?v=iUZDIER6Hfs

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¡¡¡HOY VAMOS A HABLAR UN POCO SOBRE PITÁGORAS!!!

La matemática no son solo números y cálculos también tiene historia como por ejemplo hoy vamos a hablar un poco de Pitágoras uno de los matemáticos mas conocidos.

Fue considerado el primer matemático puro. Contribuyó de manera significativa en el avance de la matemática helénica, la geometría y la aritmética, derivadas particularmente de las relaciones numéricas, y aplicadas por ejemplo a la teoría de pesos y medidas, a la teoría de la música o a la astronomía. Es el fundador de la Hermandad Pitagórica, una sociedad que, si bien era de naturaleza predominantemente religiosa, se interesaba también en medicina, cosmología, filosofía, ética y política, entre otras disciplinas. El pitagorismo formuló principios que influyeron tanto en Platón como en Aristóteles y, de manera más general, en el posterior desarrollo de la matemática y en la filosofía racional en Occidente.

No se ha conservado ningún escrito original de Pitágoras. Sus discípulos -los pitagóricos- invariablemente justificaban sus doctrinas citando la autoridad del maestro de forma indiscriminada, por lo que resulta difícil distinguir entre los hallazgos de Pitágoras y los de sus seguidores. Se le atribuye a Pitágoras la teoría de la significación funcional de los números en el mundo objetivo y en la música; otros descubrimientos, como la inconmensurabilidad del lado y la diagonal del cuadrado o el teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos, fueron probablemente desarrollados por la escuela pitagórica.

La hermandad pitagórica

Fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, al sur de Italia, que tuvo numerosos seguidores. Se llamaban a sí mismos matemáticos (matematikoi), vivían en el seno de esta sociedad de forma permanente, no tenían posesiones personales y eran vegetarianos. Hasta 300 seguidores llegaron a conformar este grupo selecto, que oía las enseñanzas de Pitágoras directamente y debía observar estrictas reglas de conducta. Sus máximas pueden sintetizarse como:

que en su nivel más profundo, la realidad es de naturaleza matemática;

que la filosofía puede usarse para la purificación espiritual;

que el alma puede elevarse para unirse con lo divino;

que ciertos símbolos son de naturaleza mística;

que todos los miembros de la hermandad deben guardar absoluta lealtad y secretismo.

En la Hermandad Pitagórica eran aceptados tanto hombres como mujeres. Aquellos que no pertenecían al núcleo duro del grupo eran llamados acusmáticos (akousmatikoi). Éstos vivían en sus propias casas, se les permitía tener posesiones personales y no se les imponía el vegetarianismo; sólo asistían como oyentes durante el día. Según Krische, las mujeres pertenecían a este grupo; no obstante, muchas pitagóricas fueron después reconocidas filósofas y matemáticas.

La escuela practicaba el secretismo y la vida comunal de manera muy estricta, y sus miembros solían atribuir todos sus descubrimientos a su fundador. De darles crédito, el alcance y la cantidad de trabajo de Pitágoras tendría una extensión inverosímil;[3] aunado a esto, no se conserva ningún escrito de Pitágoras propiamente, por lo que la distinción entre sus trabajos y los de sus seguidores es de difícil demarcación. Las contribuciones de los pitagóricos y su enorme influencia fueron determinantes para el desarrollo las matemáticas, la astronomía y la medicina, entre otras ciencias naturales, y es razonable dar crédito a Pitágoras por muchos de sus hallazgos.

Con respecto a las prácticas y estructura interna de la hermandad, sólo algunos trazos característicos pueden ser considerados fidedignos, como la práctica del ascetismo y la metempsicosis. Todas las narraciones sugieren que sus miembros guardaban absoluto hermetismo sobre lo que allí se hacía, y era una máxima conocida el que «no todo debe revelarse a todos» (Diógenes, Aristóteles). Las especulaciones filosóficas, religiosas y políticas más profundas eran posiblemente discutidas entre los miembros más selectos, mientras que los estudios científicos ordinarios —matemáticas, música, astronomía, etc. — estaban abiertos a todos los discípulos. Tenían, al parecer, símbolos convencionales establecidos, que les permitían identificarse como miembros de la hermandad aún sin haberse visto anteriormente. Escuelas similares se abrieron en Síbari, Metaponto, Tarento y otras ciudades de la Magna Grecia.

Se sabe que los pitagóricos se expandieron rápidamente después de 500 A.c., que la sociedad tomó tintes políticos y que más tarde se dividió en facciones. En 460 A.c. fueron atacados y suprimidos, sus casas de encuentro saqueadas y quemadas; se menciona en particular la "casa de Milo" en Crotona, donde más de 50 pitagóricos fueron sorprendidos y aniquilados. Aquellos que sobrevivieron se refugiaron en Tebas y otras ciudades.

 

Ordenar números irracionales y representarlos en la recta numérica.

    En esta entrada les dejaremos un pequeño resumen con el paso a paso de cómo ubicar números      irracionales en la recta numérica con el ejemplo de la raíz de dos.

1- Recta numérica   Cuando trazamos una recta y a cada uno de sus puntos le asociamos un número, entonces tenemos una recta numérica. Todo número puede representarse en la recta.     1.1- Números irracionales en la recta numérica  A cada número racional le corresponde un punto en la recta pero en realidad éstos no completan la recta, también la constituyen los irracionales. En general, representar un número con infinitas cifras decimales no periódicas es imposible y por lo tanto nos tendríamos que conformar con una aproximación.    Sin embargo, con la ayuda del Teorema de Pitágoras no es difícil representar geométricamente muchos números irracionales como √2, √3, √5, √6, √7, √8, √10,etc.   Veamos como se puede representar, por ejemplo,  √2   √2 = 1,414...,es decir, 1< √2 < 2     Para representarlo debemos seguir los siguientes pasos:   Paso 1: construir sobre la recta numérica un triángulo rectángulo de dimensiones 1cm de ancho 1cm de alto y vamos a llamar x a la hipotenusa.     Paso 2: aplicar el Teorema de Pitágoras como sigue:     Paso 3: Ya sabemos que el valor de la hipotenusa tiene como valor raíz de 2, luego con la ayuda de un compás podemos representar en la recta el valor de √2 de la siguiente manera.  Con tu compás toma la dimensión de la hipotenusa, que en este caso es √2, y toma como centro el cero. Luego trazas un arco de circunferencia y el punto de corte con la recta  numérica será el valor de raíz de 2 (longitud desde el punto cero al punto P).             Con la ayuda de un compás podemos representar exactamente √2 en la recta numérica.

                           SUPERFICIE DE ALGUNOS POLÍGONOS

Triangulo

Cuadrado        

            

                                                      2

                                                     L

Rectángulo

Paralelogramo

Rombo

Trapecio

UNIDADES DE MEDIDA EN LAS DISTINTAS DIMENSIONES

UNIDADES DE MEDIDA DE LONGITUD

EJEMPLOS: 5 M x 10= 50 DM

UNIDADES DE MEDIDA DE SUPERFICIE

UNIDADES DE MEDIDA DE VOLUMEN

   

                                   3                                             3

EJEMPLOS: 2 M  x 1000= 2000 DM

     MEDIDAS EN LAS DISTINTAS DIMENSIONES

                                                      PRIMERA DIMENSIÓN:

En esta dimensión se miden longitudes. Por ejemplo el perímetro de algo. Medir un perímetro es medir el contorno de una figura.

Ejemplos:

MEDIR UNA VARILLA PARA ARMAR UN BARRILETE

SEGUNDA DIMENSIÓN:

Al medir superficies se tienen en cuenta dos dimensiones que generalmente son largo y ancho, o largo y altura. Medir una superficie es medir el lugar que ocupa una figura: su ÁREA.

Ejemplos:

   EN UNA BOTELLA, LA ETIQUETA

¿COMO HACEMOS PARA MEDIR ÁREAS?

ÁREA= largo x ancho.

TERCERA DIMENSIÓN:

Al medir un volumen se tienen en cuenta las tres dimensiones: largo, ancho y alto. Calcular el volumen es medir la cantidad de espacio que ocupa.

Ejemplos: 

                                                                                                         CANTIDAD DE ACEITUNAS QUE ENTRAN EN EL FRASCO

                                              ¿COMO HACEMOS PARA MEDIR VOLUMEN?

VOLUMEN= alto x ancho x largo.

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