División de polinomios

 Es la operación que consiste en hallar uno de los factores de un producto, que recibe el nombre de cociente dado el otro factor, llamado divisor, y el producto de ambos factores llamado dividendo.

De la definición anterior se deduce que el dividendo coincide con el producto del divisor por el cociente. Así por ejemplo, si dividimos , se cumplirá que 

     

Si el residuo no fuera igual a cero, entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos, los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+)÷(+)=+

(–)÷(–)=+

(+)÷(–)=–

(–)÷(+)=–

   

Explicación en vídeo :

https://m.youtube.com/watch?v=thtodf4hcvE

Resta de polinomios

La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo.

P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x - 3) − (2x³ - 3x² + 4x)

P(x) −  Q(x) = 2x³ + 5x - 3 − 2x³ + 3x² − 4x

P(x) −  Q(x) = 2x³ − 2x³ + 3x² + 5x− 4x - 3

P(x) −  Q(x) = 3x² + x - 3

También podemos restar polinomios escribiendo el opuesto de uno debajo del otro, de forma que los monomios semejantes queden en columnas y se puedan sumar.

P(x) = 7x⁴ + 4x² + 7x + 2        Q(x) = 6x³ + 8x +3

Multiplicaciòn de Polinomios

En esta entrada les mostraremos los pasos a seguir para poder multiplicar monomios y polinomios:

Primer les mostraremos un ejemplo fácil de multiplicación de un número cualquiera por un polinomio para poder entender el proceso.

1. Multiplicación de un número por un polinomio

Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes del polinomio por el número y dejando las mismas partes literales.

Ejemplo

3 · (2x³ − 3x² + 4x − 2) = 6x³ − 9x² + 12x − 6

2. Multiplicación de un monomio por un polinomio

Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio.

Ejemplo: 

3x² · (2x³ − 3x² + 4x − 2) =
= 6x⁵− 9x⁴ + 12x³ − 6x²

3. Multiplicación de polinomios

Este tipo de operaciones se puede llevar a cabo de dos formas distitnas.

Mira la demostración con el siguiente ejemplo:

P(x) = 2x² − 3       Q(x) = 2x³ − 3x² + 4x

OPCIÓN 1

1Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos del segundo polinomio.

P(x) · Q(x) = (2x² − 3) · (2x³ − 3x² + 4x) =
= 4x⁵ − 6x⁴ + 8x³ − 6x³+ 9x² − 12x =

2Se suman los monomios del mismo grado.

= 4x⁵ − 6x⁴ + 2x³ + 9x² − 12x

3Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Grado del polinomio = Grado de P(x) + Grado de Q(x) = 2 + 3 = 5

Este último es el proceso que se utiliza para multiplicar polinomios y nos da de ejemplo distintas formas de resultados.

SUMA DE POLINOMIOS

Un polinomio es algo así como esto:

polinomio con 3 términos

Para sumar polinomios simplemente suma juntos los términos similares... ¿qué son términos similares?

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x²) son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen".

Ejemplos:

                                   TERMINOS                      ¿PORQUE SON SIMILARES?

                             

                          7x + 18x - x          Porque las variables son todas x

               

(1/3)xy2

-2xy2

6xy2

porque las variables son todas xy2

Sumar polinomios

Dos pasos:

• Pon juntos los términos similares
• Suma los términos similares

Ejemplo: suma     2x² + 6x + 5     y     3x² - 2x - 1

Junta los términos similares: 2x² + 3x²     +     6x - 2x    +     5 - 1

Suma los términos similares: (2+3)x²   +   (6-2)x   +   (3-1) 

= 5x² + 4x + 4

Expresiones algebraicas

                              Expresiones algebraicas son formadas mediante el uso de constantes, variables y las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, uso de exponentes y buscando raices.
Algunos ejemplos  son:
                              3x² + 5x - 3                        (3x - y) ³


                              2 + x                                    a + b - 5
                              4 + y


                              _ 1_
                              x - 9


    Una expresión algebraica que involucra solamente operaciones de suma, resta, multiplicación y el elevar a potencias de números naturales son variables ( las letras) y constantes( números solitos) se llama polinomios. Algunos ejemplos son:
        5a + b                                        3x³ - 2x + 5
       2x - 5y                                        9x² - 8
        x²                                              5x⁴ - 3x³ + x² - x + 5

En un polinomio, la variable no puede aparecer en el denominador, como exponente ni dentro de un radical.
              

INTERVALOS REALES

Intervalos reales

Un intervalo es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real , es decir, una parte de recta entre dos valores dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.

Acá dejamos un video explicativo sobre cómo representar los intervalos,para qué sirven y los tipos de intervalos.

INECUACIONES

 

Una inecuación es una desigualdad algebraica en la que sus dos miembros aparecen ligados por uno de estos signos:

 

< Menor que 2x − 1 < 7 

≤ Menor o igual que  2x − 1 ≤ 7

> Mayor que 2x − 1 > 7

≥ Mayor o igual que  2x − 1 ≥ 7

 

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación.

 

 

1.  Una representación gráfica

 

2. Un intervalo.

 

 

1. 2x − 1 < 7

2x < 8     x < 4

 

(-∞, 4)

 

 

 

 

2. 2x − 1 ≤ 7

2x ≤ 8     x ≤ 4

(-∞, 4]

3. 2x − 1 > 7

2x > 8     x > 4

 

(4, ∞)

 

4. 2x − 1 ≥ 7

 

2x ≥ 8     x ≥ 4

 

 

[4, ∞)